Natural transformation

Category $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ について、natural transformation:

とは、以下から成る代数的構造 $(F, G, \eta)$ である:

functor: $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ (domain)
functor: $G : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ (codomain)
$\mathcal{D}$ -morphism族: $(\eta_A : F(A) \rightarrow G(A))_{A \in \mathcal{C}}$ (components) *1

これらは次の要件をみたさなければならない:

$f: A \rightarrow B \Rightarrow G(f) \circ \eta_A = \eta_B \circ F(f)$ *2 (naturality)

Natural transformationを与えるときは、componentsだけ書いてしまえばいい。(domainやcodomainは自明に定まるので)

Natural transformation $(\eta_A)_A$ が以下を満たすとき、natural isomorphismという。

このとき、(後で分かるように)

と書いてしまってＯＫ。

ある本が言うことには:

all polymorphic functions in functional programming languages are natural transformations.

ということでようやくスタート地点に立ったということ･･･。

*1:transformationと呼んではいけないのだろうか。

*2: $\mathcal{D}^{\rightarrow}$ -morphismの要件である。

*3:Aの要件は省略