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Limit

定義 Functor Natural transformation

@deprecated

Constant functor

Category $\mathcal{C, D}$ と $A \in \mathcal{D}_0$ について、constant functorを次のように定義できる:

$\Delta_A : \mathcal{C \rightarrow D}$
$\Delta_A(x) = A$

Cone

Cone:

$\psi : N \triangleleft F$

とは、以下から成る代数的構造 $(F, N, \psi)$ である:

functor: $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ (base)
$\mathcal{D}$ -object: $N$ (vertex)
natural transformation: $(\psi_A : N \rightarrow F(A) )_{A \in \mathcal{C} }$ (components)

つまりconeとは、domainがconstant functorになっているnatural transformationのこと。

Limit

Functor $F$ について、cone:

$(\varphi_A : L \rightarrow F(A))_A$

が次の要件(universality):

任意のcone について
- $\exists ! u : N \rightarrow L, \forall A, \varphi_A \circ u = \psi_A$ (factorization)

を満たすとき、 $F$ のlimitと呼ぶ。 $F$ のlimitが存在すれば、(あとで分かるように)それらはすべて本質的に等しい*1ので、一つ選んで

$\lim F$

と書く。 $L$ も同じ記法で参照する。

Mediating morphism

上のuniversalityによりただ一つ存在する $u$ をmediating morphismといい、

$\varphi(\psi)$

と書くことにする。*2

参考文献

*1:unique up to isomorphism

*2:記法を見つけられなかったので暫定的に･･･