PS

Catamorphism

定義 Functor Category

Endofunctor

Domainとcodomainが同じfunctorのこと。

F-algebra

任意のendofunctor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ について、 $F$ -algebraとは、以下から成る代数的構造 $(A, \alpha)$ である。

$\mathcal{C}$ -object: $A$ (carrier)
$\mathcal{C}$ -morphism: $\alpha : F(A) \rightarrow A$

F-algebra category

任意のendofunctor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ について、 $F$ -algebra category:

$F \unicode{x2013} \mathcal{Alg}$

を次のように定義できる:

$(F \unicode{x2013} \mathcal{Alg}) _ 0 = \lbrace (A, \alpha) \mid (A, \alpha) : F \text{-algebra} \rbrace$
$(F \unicode{x2013} \mathcal{Alg}) _ 1 = \lbrace (A, \alpha, B, \beta, f) \mid (A, \alpha), (B, \beta) \in (F \unicode{x2013} \mathcal{Alg})_0, f \circ \alpha = \beta \circ F(f) \rbrace$
$\text{dom}(A, \alpha, B, \beta, f) = (A, \alpha)$
$\text{cod}(A, \alpha, B, \beta, f) = (B, \beta)$
$(B, \beta, C, \gamma, g) \circ (A, \alpha, B, \beta, f) = (A, \beta, \circ \alpha, C, \beta \circ \gamma, g \circ f)$
$\text{id} _ {(A, \alpha)} = (A, \alpha, A, \alpha, \text{id} _ A)$

Catamorphism

$F$ -algebra categoryのinitial objectのmediating morphismのこと。

参考文献