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Subobject

定義 Category

Subobject

$\mathcal{C}$ -monomorphism:

$u : S \rightarrow A$
$v : T \rightarrow A$

について、

$u \leq v \Leftrightarrow {} ^ \exists w, u = v \circ w$
$u \equiv v \Leftrightarrow (u \leq v) \text{ and } (v \leq v)$

と定義すると、 $\equiv$ はequivalence relationになるので、equivalence class:

$[u : S \rightarrow A ] _ \equiv$

を $A$ のsubobjectといい、

$u \equiv v \Leftrightarrow S \cong T$

が成立することから、 $S$ と書いてしまう。

Subobject category

(･･･と呼ぶのか怪しいが)

$\mathcal{C}$ -object $A$ のsubobjectをobjectとするcategory:

$\mathcal{Sub} _ {\mathcal{C}}(A)$

を作ることができる。添え字の $_{\mathcal{C}}$ はしばしば省略される。

命題

$\mathcal{Sub}(A) : \text{posetal}$

Wellpowered category

${} ^ \forall A \in \mathcal{C} _ 0, \mathcal{Sub}(A) _ 0 : \text{small}$

なるcategory $\mathcal{C}$ 。

Subobjectのelement

element $a \in A$
$A$ のsubobject $M = [m]$

について、

${} ^ \exists f, a = m \circ f$

のとき、

$a \in _ A M$

と書く。

参考文献