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Functor まとめ

圏論 定義 Functor

Identity functor

  • 1 _ {\mathcal{C}} : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}
  • 1 _ {\mathcal{C}}(x) = x

Composite functor

  • F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}
  • G : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{E}

について

  • G \circ F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{E}
  • (G \circ F)(x) = G(F(x))

Diagonal functor

Product of functors

  • F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}
  • F' : \mathcal{C'} \rightarrow \mathcal{D'}

について

Exponential functor

  • \mathcal{C}-object A

について

  • (\unicode{x2013}) ^ A : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}
  • (\beta : B \rightarrow C) ^ A = \langle \beta \circ \epsilon _ B \rangle

Swap functor

(と呼んでいいと思う)

  • \text{Swap} : \mathcal{C} \times \mathcal{C'} \rightarrow \mathcal{C'} \times \mathcal{C}
  • \text{Swap}(x, y) = (y, x)

Partial application

  • F : \mathcal{C} \times \mathcal{C'} \rightarrow \mathcal{D}
  • A \in \mathcal{C} _ 0, B \in \mathcal{C'} _ 0

について

  • F(A, \unicode{x2013}) : \mathcal{C'} \rightarrow \mathcal{D}
  • F(A, \unicode{x2013})(y) = F(A, y)
  • F(\unicode{x2013}, B) : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}
  • F(\unicode{x2013}, B)(x) = F(x, B)

Evaluation functor

  • \epsilon _ {\mathcal{D}} : \mathcal{D} ^ {\mathcal{C}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}
  • \epsilon _ {\mathcal{D}}(F, A) = F _ 0(A)
  • \epsilon _ {\mathcal{D}}(\eta : F \rightarrow G, f: A \rightarrow B) = \eta(f) = \eta _ B \circ F(f) = G(f) \circ \eta _ A

Natural transformationのhorizontal compositionはこれを使って定義できる。

Comma functor

(と呼んでいいと思う)

  • ( (\unicode{x2013}) \downarrow (\unicode{x2013}) ) : ( \mathcal{C} ^ {\mathcal{A}} ) ^ {\text{op}} \times \mathcal{C} ^ {\mathcal{B}} \rightarrow \mathcal{Cat}
  • ( (\alpha : S' \rightarrow S) \downarrow (\beta : T \rightarrow T')) = (\beta _ B \circ f \circ \alpha _ A)_{f : SA \rightarrow TB}

Hom functor

(Comma functorの一種)

  • \text{Hom} : \mathcal{C} ^ {\text{op}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}
  • \text{Hom} _ 0(A, B) = \lbrace f \mid f : A \rightarrow B \rbrace
  • \text{Hom} _ 1(f, g) = (g \circ h \circ f) _ h

Over functor

(Comma functorの一種)

  • \mathcal{C} \downarrow _ {(\unicode{x2013})} : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Cat}
  • \mathcal{C} \downarrow _ A = (1 _ {\mathcal{C}} \downarrow \Delta(A) )
  • \mathcal{C} \downarrow _ g = (g \circ f) _ f

Yoneda embedding

  • \text{y} : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set} ^ {\mathcal{C} ^ {\text{op}}} = \hat{\mathcal{C}}
  • \text{y}(x) = \big( \text{Hom} _ {\mathcal{C}}(y, x) \big) _ y

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記法

  • Morphismが期待される場所で、object A が渡された場合は、identity morphism 1 _ A を渡す。
  • Objectかmorphismのどちらかである変数は、 x, y, j 等にした。

Yoneda lemma

これらを使うと、Yoneda lemma:

  • \big( \eta _ {C, F} : \text{Hom} _ {\hat{\mathcal{C}}}(\text{y}(C), F) \cong F(C) \big) _ {C, F}

で自明に定まる(というには無理がある)natural isomorphismは、

  • \eta : \text{Hom} _ {\hat{\mathcal{C}}} \circ (\text{y} \times 1 _ {\hat{\mathcal{C}}}) \rightarrow \epsilon _ {\mathcal{Set}} \circ \text{Swap}

参考文献

*1:constant functorまたはconstant natural transformation

*2: \mathcal{Cat} におけるproduct morphism