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Category of elements

圏論 定義 Category

Category of elements

  • functor P : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}

について、category of elements:

  • \displaystyle\int ^ {\mathcal{C}} P

とは

  • comma category (\Delta(1) \downarrow P) *1

のこと。

Category of coelements

  • functor P : \mathcal{C} ^ {\text{op}} \rightarrow \mathcal{Set}

について、category of coelements:

  • \displaystyle\int _ {\mathcal{C}} P

とは

  • comma category (\Delta(1) \downarrow P) ^ {\text{op}}

のこと。

Coelements functor

(とでも呼ぶことにする) *2

  • \displaystyle\int _ {\mathcal{C}} : \mathcal{Set} ^ { \mathcal{C} ^ {\text{op}} } \rightarrow \mathcal{Cat}
  • \displaystyle\int _ {\mathcal{C}}(\vartheta : P \rightarrow Q) = (\vartheta _ A \circ a) _ {a : 1 \rightarrow PA}

命題

参考文献

*1: 1 はsingleton set

*2:comma functorの一種

*3:Yoneda lemmaの対応による