PS

Pointwise limits

圏論 Limit

命題

Functor:

$S : \mathcal{J} \rightarrow \mathcal{X} ^ {\mathcal{P}}$

について、limiting coneの族:

$( \big( \tau _ {j, p} : L _ p \rightarrow S _ j(p) \big) _ {j} ) _ {p}$

が存在するならば、

$L _ 0(p) = L _ p$
$\big( ( {\tau} _ {j, p} ) _ j \big) _ p : \text{natural}$

となるようなfunctor:

$L : \mathcal{P} \rightarrow \mathcal{X}$

を一意に作ることが出来る。さらにこのとき、

$( \big( \tau _ {j, p} \big) _ {p} ) _ {j}$

は、limiting cone:

$\big( \tau _ {j} : L \rightarrow S _ j \big) _ j$

になっている。

記法

$(\lim\limits _ i S _ i)(p) \cong \lim\limits _ i \big( S _ i(p) \big)$

参考文献