PS

Dense functor

圏論定義 Functor

Canonical natural transformation of comma categories

Comma category:

$(F \downarrow G)$
$F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}$
$G : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$

について、その定義により、 $(F \downarrow G)$ -objectを添字とするmorphism族:

$\theta(F, G) = (f : Fa \rightarrow Gb)_{f \in (F \downarrow G)}$

は、natural。

詳しくは、自明に定まるfunctor:

$\pi_{\mathcal{A}} : (F \downarrow G) \rightarrow \mathcal{A}$
$\pi_{\mathcal{B}} : (F \downarrow G) \rightarrow \mathcal{B}$

を使うと、

$\big( f : (F \circ \pi_{\mathcal{A}})(f) \rightarrow (G \circ \pi_{\mathcal{B}})(f) \big)_{f \in (F \downarrow G)}$

は、canonical natural transformation:

$\theta(F, G) : F \circ \pi_{\mathcal{A}} \rightarrow G \circ \pi_{\mathcal{B}}$

になる。

Dense functor

Functor:

$K : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{C}$

について、

- $\theta(K, \Delta c : 1 \rightarrow \mathcal{C}) : \text{colimiting cocone of } K \circ \pi_{\mathcal{M}}$ *1

のとき、 $K$ をdense functorという。

Codense functor

同様に、

- $\theta(\Delta c, K) : \text{limiting cone of } K \circ \pi_{\mathcal{M}}$ *2

のとき、 $K$ をcodense functorという。

記法

$c \cong \text{colim}\big( (K \downarrow \Delta c) \rightarrow \mathcal{M} \overset{K}{\rightarrow} \mathcal{C} \big)$
$c \cong \text{lim}\big( (\Delta c \downarrow K) \rightarrow \mathcal{M} \overset{K}{\rightarrow} \mathcal{C} \big)$

参考文献

*1:canonical colimiting cocone

*2:canonical limiting cone