PS

Terminality of comma categories

圏論命題 Comma-category

Functor:

$F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$
$G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}$

について･･･

ある圏

三つ組:

functor: $U : \mathcal{D} \to \mathcal{A}$
functor: $V : \mathcal{D} \to \mathcal{B}$
natural transformation: $\alpha : F \circ U \to G \circ V$

から同じく三つ組:

functor: $U' : \mathcal{D'} \to \mathcal{A}$
functor: $V' : \mathcal{D'} \to \mathcal{B}$
natural transformation: $\alpha' : F \circ U' \to G \circ V'$

へのmorphismを、

$V = V' \circ W$
$U = U' \circ W$
$\alpha = \alpha' W$ *1

を満たすfunctor:

$W : \mathcal{D} \to \mathcal{D'}$

と定義すれば、categoryを成す(と思う)。

命題

Comma category:

$(F \downarrow G)$

から定まるcanonical natural transformation:

$\theta(F, G) : F \circ \pi _ \mathcal{A} \rightarrow G \circ \pi _ \mathcal{B}$

による三つ組:

$( \pi _ \mathcal{A}, \pi _ \mathcal{B}, \theta(F, G) )$

は、上記のcategoryのterminal object。

参考文献

*1:whiskering