PS

RAPRK

圏論命題 Adjunction Kan-extension

(･･･なんて略語はたぶんない)

命題

Right Adjoints Preserve Right Kan extensions:

adjunction: $F \overset{\epsilon}{ \underset{\eta}{\dashv} } G : \mathcal{A} \to \mathcal{X}$
functor: $T : \mathcal{M} \to \mathcal{A}$
functor: $K : \mathcal{M} \to \mathcal{C}$
right Kan extension along $K$ : $\omega : R K \Rightarrow T$

について、

$G \omega : G R K \Rightarrow G T$

も、right Kan extension along $K$ 。

証明

Adjunction lifting - PS(のpostcomposition版)により

$F(\unicode{x2013}) \dashv G(\unicode{x2013})$

であるから

- $\cong _ {H, R} \mathrm{Nat}(FH, R)$
- $\cong _ {FH} \mathrm{Nat}(FHK, T)$
- $\cong _ {HK, T} \mathrm{Nat}(HK, GT)$ *1
- $\mapsto \epsilon R \circ 1 _ {FGR} = \epsilon R$
- $\mapsto \omega \circ \epsilon R K$
- $\mapsto G (\omega \circ \epsilon R K) \circ \eta {GRK} = G \omega \circ (G \epsilon \circ \eta G) R K = G \omega$

Dual

Left adjoints preserve left Kan extensions。

系

Kan extensionによるlimit - PSにより、Right Adjoints Preserve Limits。

参考文献

*1:natural bijectionとのwhiskeringにより $H$ についてのnaturalityは維持される