PS

Fixed-point functor

圏論命題 F-algebra

命題

Initial algebraの族:

$(\mathtt{in} ^ F : F(\mu F) \to \mu F) _ { F \in \mathcal{C} ^ \mathcal{C} }$

について

$\mu _ 0 (F) = \mu F$
$(\mathtt{in} ^ F ) _ F : \text{natural}$ *1

なるfunctor:

$\mu : \mathcal{C} ^ \mathcal{C} \to \mathcal{C}$

がただ一つ存在する。

証明

$\mu ( F \overset{\alpha}{\Rightarrow} G ) := \mathtt{fold} ^ F ( F(\mu G) \overset{\alpha _ {\mu G} }{\to} G(\mu G) \overset{\mathtt{in} _ G}{\to} \mu G )$

Fusion law

$\mathtt{fold} ^ G (GB \overset{b}{\to} B) \circ \mu(F \overset{\alpha}{\Rightarrow} G) = \mathtt{fold} ^ F (FB \overset{\alpha _B}{\to} GB \overset{b}{\to} B)$

vs. Parameterized algebra

$\mu \circ H = H ^ \mu$ *2

参考文献

Theory and Practice of Fusion(pdf)

*1:naturalityはevaluation functorによる

*2:Initial algebras with parameters - PS