PS

Comonad からの monad

圏論命題 Adjunction Monad

Lifted adjuncts

Adjunction:

$L \dashv R$

について、Adjunction lifting - PS により natural bijection:

$\lfloor \unicode{x2013} \rfloor : \mathsf{Nat}(LF, G) \overset{\sim}{\to} \mathsf{Nat}(F, RG)$
$\lceil \unicode{x2013} \rceil : \mathsf{Nat}(F, GL) \overset{\sim}{\to} \mathsf{Nat}(FR, G)$

が存在するのであった。

命題

上記の adjunction について $L$ が comonad:

$(L : \mathcal{C} \to \mathcal{C}, \epsilon ^ L : L \Rightarrow 1, \delta ^ L : L \Rightarrow L ^ 2)$

になっているならば

$(R : \mathcal{C} \to \mathcal{C}, \lfloor \epsilon ^ L \rfloor : 1 \Rightarrow R, \lfloor \lceil \lceil \delta ^ L \rceil \rceil \rfloor : R ^ 2 \Rightarrow R)$

は monad になる。

Dual

$R$ が monad ならば $L$ は comonad。

参考文献

Monads from Comonads, Comonads from Monads (pdf) *1
- 以下、怪しい errata
- $\lfloor \negmedspace \lfloor \alpha : \mathsf{R} ^ n \to \mathsf{R} ^ m \rfloor \negmedspace \rfloor ^ \circ = \lceil \lfloor \alpha \rfloor ^ {\circ m} \rceil ^ {\circ n} : \mathsf{L} ^ m \to \mathsf{L} ^ n$
- (24) の右側 $\mapsto \lceil \lfloor \beta \circ \alpha \rfloor ^ {\circ k} \rceil ^ {\circ n} = \lceil \lfloor \alpha \rfloor ^ {\circ m} \rceil ^ {\circ n} \circ \lceil \lfloor \beta\rfloor ^ {\circ k} \rceil ^ {\circ m}$
- (25) の右側 $\mapsto \lfloor \lceil \alpha \mathsf{L} \rceil ^ {n+1} \rfloor ^ {m+1} = \mathsf{R} \lfloor \lceil \alpha \rceil ^ n \rfloor ^ m$

*1:エレガントとしか言えないすごい論文