Enriched Kan extension

以下、Lambda 記法 - PS を使う。

Right Kan extension

$\mathcal{V}$ -functor:

$K : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$
$G : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$

について、要件:

任意の

$\mathcal{V}$ -functor: $F : \mathcal{C} \to (\mathcal{V})$
$B \in \operatorname{ob} \mathcal{B}$

について

f:id:mbps:20150801110908p:plain

を満たす

$\mathcal{V}$ -functor: $T : \mathcal{C} \to \mathcal{B}$
$\mathcal{V}$ -natural transformation: $\psi : T \circ K \to G$

のペアのことを right kan extension of $G$ along $K$ といい、特に $T$ を(一つ選んで)

$\operatorname{Ran} ^ K G$ *1

と書く。また、 $\psi$ をその counit という。

記法

$\operatorname{lim} ^ {FKA} _ A GA \cong \operatorname{lim} ^ {FC} _ C (\operatorname{Ran} ^ K G)C$

命題: Right Kan extensions via weighted limits

上記の定義は、以下と同値:

任意の

$B \in \operatorname{ob} \mathcal{B}$
$C \in \operatorname{ob} \mathcal{C}$

について

f:id:mbps:20150801111549p:plain

記法

$(\operatorname{Ran} ^ K G)C \cong \operatorname{lim} _ A ^ {\mathcal{C}(C,KA)} GA$

証明

「定義ならば命題」は参考文献の通り。「命題ならば定義」については

$\begin{aligned} & \lbrack \mathcal{C},(\mathcal{V}) \rbrack (F, \lambda _ C \mathcal{B}(B,TC) ) \\ \cong & \lbrace \text{Every self-valued functor is a colimit of representables} \rbrace \\ & \lbrack \mathcal{C},(\mathcal{V}) \rbrack (\operatorname{colim} _ D ^ {FD} \lambda _ C \mathcal{C}(D,C), \lambda _ C \mathcal{B}(B,TC) ) \\ \cong & \lbrace \text{Hom functors preserve limits} \rbrace \\ & \operatorname{lim} ^ {FD} _ D \lbrack \mathcal{C},(\mathcal{V}) \rbrack (\lambda _ C \mathcal{C}(D,C), \lambda _ C \mathcal{B}(B, TC) ) \\ \cong & \lbrace \text{limit iso} \rbrace \\ & \operatorname{lim} ^ {FD} _ D \mathcal{B}(B, \operatorname{lim} _ C ^ {\mathcal{C}(D,C)} TC ) \\ \cong & \lbrace \text{Yoneda} \rbrace \\ & \operatorname{lim} ^ {FD} _ D \mathcal{B}(B,TD) \\ \cong & \lbrace \text{assumption} \rbrace \\ & \operatorname{lim} ^ {FD} _ D \mathcal{B}(B, \operatorname{lim} ^ {\mathcal{C}(D,KA)} _ A GA) \\ \cong & \lbrace \text{limit iso} \rbrace \\ & \operatorname{lim} _ D ^ {FD} \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack ( \lambda _ A \mathcal{C}(D,KA), \lambda _ A \mathcal{B}(B, GA) ) \\ \cong & \lbrace \text{Hom functors preserve limits} \rbrace \\ & \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack (\operatorname{colim} ^ {FD} _ D \lambda _ A \mathcal{C}(D, KA), \lambda _ A \mathcal{B}(B,GA) ) \\ \cong & \lbrace \text{pointwise colimits} \rbrace \\ & \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack (\lambda _ A \operatorname{colim} _ D ^ {FD} \mathcal{C}(D,KA), \lambda _ A \mathcal{B}(B,GA) ) \\ \cong & \lbrace \text{symmetry of colimits} \rbrace \\ & \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack (\lambda _ A \operatorname{colim} _ D ^ {\mathcal{C}(D,KA)} FD , \lambda _ A \mathcal{B}(B,GA) ) \\ \cong & \lbrace \text{co-Yoneda} \rbrace \\ & \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack (\lambda _ A FKA, \lambda _ A \mathcal{B}(B,GA) ) \\ \end{aligned}$