Traced monoidal category

再帰の圏論的表現。

Monoidal category $(\mathcal{C}, \otimes, I)$ において、natural transformation*1:

$(\operatorname{Tr} : \operatorname{Hom}(A \otimes X, B \otimes X) \to \operatorname{Hom}(A,B) ) _ {A,B,X}$

で、もろもろの coherence 要件を満たすもの。その要件により right trace を次のように描ける:

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Right trace を持つ monoidal cateogry を right traced monoidal category という。

Right trace を左右逆にしたもの。

特に、symmetric monoidal category においては

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とすると right trace から left trace が作れる。

Cartesian monoidal category $(\mathcal{C},\times,1)$ において、natural transformation*2:

$(\operatorname{fix} : \operatorname{Hom}(A \times X, X) \to \operatorname{Hom}(A,X) ) _ {A,X}$

で、fixed-point property:

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および、diagonal property:

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を満たすもの。特に、 $A := 1$ としたのが有名なやつ。

Cartesian monoidal category において、 $\operatorname{Tr}$ と $\operatorname{fix}$ は以下の対応により同値:

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に注意する。

*1: $X$ については extranatural

*2: $X$ については dinatural