Free functor object

category: $\mathcal{C}$
forgetful functor: $U : \mathcal{Set} ^ \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set} ^ {\mathcal{C} _ 0}$

について、ある $U$ -initial morphism:

のこと(特に代表して $K$ のこと)を、free functor object over $F$ ということにする。

Discrete diagramから作った一番シンプルなfunctor、ということ。

Difunctor:

について、Colimits in sets - PSと同様にすると、自明なinjection:

は、coending cowedgeになる:

Discrete diagram:

について、coYoneda functor over $F$ :

$\mathtt{Coyoneda} _ F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}$
$\mathtt{Coyoneda} _ F (a) = \displaystyle \int ^ c Fc \times \mathcal{C}(c, a)$
$\mathtt{Coyoneda} _ F (f : a \rightarrow b) = [ (x, t), c ] \mapsto [ (x, f \circ t), c ]$

を定義できる。

上記の $F$ について、injection:

は、 $U$ -initial morphism。つまり、 $\mathtt{Coyoneda} _ F$ は、free functor object over $F$ 。

任意のfunctor:

について、

$(h _ a : \mathtt{Coyoneda} _ F a \rightarrow G a) _ a \mapsto ( h _ a \circ i _ {F, a} ) _ a$
$(g _ a : F a \rightarrow G a) _ a \mapsto \big( [ (x, t), c ] \mapsto g _ c(x) \mapsto G(t)(g _ c (x)) \big) _ a$