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Category, 圏

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$\mathcal{C}$

とは、以下から成る代数的構造 $(\mathcal{C} _ 0, \mathcal{C} _ 1, \text{dom}, \text{cod}, \circ, \text{id} )$ である:

類: $\mathcal{C} _ 0$ (objects)
類: $\mathcal{C} _ 1$ (morphisms)
関数: $\text{dom} : \mathcal{C} _ 1 \rightarrow \mathcal{C} _ 0$ (domain of)
関数: $\text{cod} : \mathcal{C} _ 1 \rightarrow \mathcal{C} _ 0$ (codomain of)
関数: $\circ : \mathcal{C} _ 2 \rightarrow \mathcal{C} _ 1$ (composite of)
関数: $\text{id} : \mathcal{C} _ 0 \rightarrow \mathcal{C} _ 1$ (identity of)

ただし、

$\mathcal{C}_2 \equiv \lbrace (g, f) \in \mathcal{C} _ 1 \times \mathcal{C} _ 1 \mid \text{dom}(g) = \text{cod}(f) \rbrace$

とした。

これらは以下の四つの要件を満たさなくてはならない。

任意の

$A \in \mathcal{C}_0$
$f, g, h \in \mathcal{C} _ 1$

について

$(g, f) \in \mathcal{C} _ 2 \Rightarrow (\text{dom}(g \circ f) = \text{dom}(f) \wedge \text{cod}(g \circ f) = \text{cod}(g))$
$( (h, g) \in \mathcal{C} _ 2 \wedge (g, f) \in \mathcal{C} _ 2 ) \Rightarrow h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$
$\text{dom}(\text{id}(A)) = \text{cod}(\text{id}(A)) = A$
$f \circ \text{id}(\text{dom}(f)) = \text{id}(\text{cod}(f)) \circ f = f$

Directed graphとしての圏

@deprecated

圏はdirected graphの一種である。オブジェクト指向的には、directed graphを継承している。実際、

$V \equiv \mathcal{C}_0$
$E \equiv \{ \text{(dom($f$),cod($f$))} | f \in \mathcal{C}_1 \}$

とすれば

$(V, E)$

はdirected graphになる。

$\mathcal{C}$ の添字の数字は、圏をgraphとみなしたときのpathの長さを暗示している。

記法

$A \in \mathcal{C} \equiv A \in \mathcal{C} _ 0$
$f \in \mathcal{C} \equiv f \in \mathcal{C} _ 1$
$\mathcal{C}(A, B) \equiv \lbrace f \in \mathcal{C} _ 1 \mid \text{dom}(f) = A \wedge \text{cod}(f) = B \rbrace$
$f: A \rightarrow B \equiv f \in \mathcal{C}(A, B)$
$\text{id}_A \equiv \text{id}(A)$
$A \equiv \text{id} _ A$

命題

$(A, B) \neq (A', B') \Rightarrow \mathcal{C}(A, B) \cap \mathcal{C}(A', B') = \emptyset$
$\text{id} : \text{injective}$
$\mathcal{C} _ 1 \ne \emptyset \Rightarrow \mathcal{C} _ 0 \ne \emptyset$

参考文献