PS

Colimits in sets

圏論命題 Limit

命題

Functor:

$F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}$

について、disjoint union:

$\displaystyle\coprod F _ 0 = \displaystyle\bigcup _ {c \in \mathcal{C} _ 0} \lbrace (x, c) \mid x \in F(c) \rbrace$

上のbinary relation:

- ${} ^ {\exists} f : c \rightarrow c', x' = F(f)(x)$

を含む最小のequivalence relation $\sim$ を使って、

$M = \displaystyle\coprod F _ 0 / _ \sim$ *1
$\omega _ c : Fc \rightarrow M$
$\omega _ c(x) = [ (x, c) ] _ {\sim}$

とすると、

$(\omega _ c) _ {c \in \mathcal{C} _ 0}$

は、colimiting coconeになる。

参考文献

*1:quotient set