PS

Kelly lemma

圏論命題 Monoidal

(と一般に呼ぶのかは分からない)

Monoidal category $(\mathcal{C}, \otimes, I)$ について

$\lambda _ I = \rho _ I : I \otimes I \to I$

という要件は不要という命題。

補題

$\lambda _ X \otimes \text{id} _ Y = \lambda _ {X \otimes Y} \circ \alpha _ {I,X,Y}$

証明

Proving lemmas on monoidal categories in Todd Trimble を参照。

命題

$\lambda _ I = \rho _ I : I \otimes I \to I$

証明

$\lambda$ の naturality より

$\lambda _ I \circ \lambda _ {I \otimes I} = \lambda _ I \circ (\mathrm{id} _ I \otimes \lambda _ I )$

$\lambda$ は iso ゆえ

$\lambda _ {I \otimes I} = \mathrm{id} _ I \otimes \lambda _ I$

triangle equality とより

$\lambda _ {I \otimes I} \circ \alpha _ {I,I,I} = \rho _ I \otimes \text{id} _ I$

補題とより

$\lambda _ I \otimes \text{id} _ I = \rho _ I \otimes \text{id} _ I$

$(\unicode{x2013}) \otimes I$ は $\rho$ により equivalence なので

$\lambda _ I = \rho _ I$

参考文献