PS

Sets

定義 Category Functor

Category of sets

Category $\mathcal{Set}$ を次のようにして定義できる:

$\mathcal{Set}_0 = \text{ \{$A$|$A$ is a set\}_{class} }$
$\mathcal{Set}_1 = \text{ \{$f$|$f$ is a function between sets\}_{class} }$
$\text{dom($f$) = domain of $f$ }$
$\text{cod($f$) = codomain of $f$ }$
$(g \circ f)(x) = g(f(x))$
$\text{id}_A(x) = x$

(これで良さそうだが厳密な定義を発見できず･･･)

Structured set

Structured setとは、以下から成る代数的構造 $(A \text{, } (\cdot_i)_i) }$ である(と思う)。

一つの集合:

$A$ (underlying set)

A上の演算子の族

$(\cdot_i)_i$ (structure)

つまり、underlying setが一つしかない代数的構造のこと。

Category of structured sets

Structured setをobject、そのhomomorphismをmorphismとするとcategoryができる。

$\mathcal{Mon}$ (category of monoids)
$\mathcal{Pos}$ (category of posets)
$\mathcal{Grp}$ (category of groups)

などなど。

Forgetful functor

$\mathcal{C}$ をcategory of structured setsとすると、 functor $U_{\mathcal{C}} \text{ : } \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}$ を次のようにして定義できる:

$U_{\mathcal{C}}(A \text{, } (\cdot_i)_i) = A$
$U_{\mathcal{C}}(f) = f$

参考文献

wikipedia:en:Forgetful_functor