PS

(Co)power

圏論 定義 Enriched Power

Constant enriched functor

Unit category \mathcal{I} からの constant functor を

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と定義できる。

命題

証明

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Power

  • \lbrack X, C \rbrack := \operatorname{corep} _ B \lbrack X, \mathcal{B}(B,C) \rbrack
    • X \in \mathcal{V}
    • C \in \mathcal{B}
      • \mathcal{B}(B, \lbrack X, C \rbrack) \cong \lbrack X, \mathcal{B}(B,C) \rbrack

上記の命題により、constant \mathcal{V}-functor の weighted limit と existence-compatible:

  • \lbrack X, C \rbrack \cong \operatorname{lim} _ {\ast \in \mathcal{I}} ^ X C

特に \mathcal{B} = (\mathcal{V}) のとき、flip iso により記号に矛盾はない。

Power functor

Enriched representability - PS の命題により:

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Copower

同様に、

  • X \otimes C := \operatorname{rep} _ B \lbrack X, \mathcal{B}(C,B) \rbrack
    • X \in \mathcal{V}
    • C \in \mathcal{B}
      • \mathcal{B}(X \otimes C, B) \cong \lbrack X, \mathcal{B}(C,B) \rbrack
  • X \otimes C \cong \operatorname{colim} _ {\ast \in \mathcal{I}} ^ X C

特に \mathcal{B} = (\mathcal{V}) のとき、close(curry) iso により記号に矛盾はない。

参考文献