記法.1 @deprecated と(勝手に)書くことにする。詳しくは Monoidal product of enriched categories - PS Self-enriched monoidal product - PS を使って 記法.2 命題 証明 系 Dual 証明 @deprecated 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (…

以下、Lambda 記法 - PS の記法を使う。 Pointwise weighted limits Pointwise weighted limits - PS より: Pointwise weighted colimits (怪しい)証明 @deprecated @deprecated Contravariant Yoneda embedding @deprecated 命題 証明 具体的には、以下の二…

Opposite category の記法 @deprecated とすると は functorial にならないことに注意する。 以下、この記法により variance を明示する。 Weighted limit @deprecated Weighted colimit @deprecated Commutativity Symmetricity of weighted colimits 証明 …

Currying の記法 @deprecated -functor: について、curry isomorphism により対応する -functor: を と書くことに(勝手に)する。 Lambda 記法 Lambda 記法 - PS を参照。 命題 -functor: について、weighted limit の族: が存在するならば (右辺は Enriched …

Fubini theorem.1 -functor: について 証明 1.について(2.も同様)･･･ 左辺から右辺: 右辺から左辺: Fubini theorem.2 証明 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (2.1)

Weighted limits in self-enriched categories Weighted limit による enriched Yoneda lemma - PS の命題より となるのであった。 HPL (という略語は見たことがない) enriched Hom functors Preserve weighted Limits: (Enriched hom functors preserve wei…

Hom-object adjunction -functor: (left adjoint) (right adjoint) および -natural isomorphism in : (adjoint iso) からなる代数的構造のこと。 Enriched representability - PS の命題により representation of の族: が存在すれば十分である。 命題 Hom-…

Preservation of weighted limits -enriched functor: について、-weighted limit of が存在するとき、その counit を とすると が iso になっているとき preserves the limit と言う。 記法 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (3.2)

Enriched Yoneda lemma with hom functors @deprecated -functor: について -natural in Enriched Yoneda lemma via weighted limits -functor: について -natural in 証明 Enriched Yoneda lemma - PS で特に とすると 証明 @deprecated Enriched Yoneda le…

Weighted limit -enriched functor: (weight) について、representation of : -natural in を -weighted limit of といい 等々で表す。 Counit 上記の representation は Yoneda bijection により、-morphism: に対応する。さらにこれは end bijection(Enric…

(とでも呼んでみる) 命題.1 -enriched infrafunctor: variables for について -(extra)natural-looking in all variables -(extra)natural-looking in all variables ならば -natural-looking in 証明 のときは、普通の vertical composition。 のときは、 …

Curry isomorphism 以下、Exponentiation 2-functor on enriched categories - PS の補題の isomorphic 1-functor: を使用する。 Enriched fully-faithful functor -isomorphism の族になっている -functor のこと。 Enriched Yoneda embedding これは Yoned…

Flip bijection Curry bijection を二回重ねたもの(を勝手に): Enriched Yoneda lemma -functor: -object: について -natural in ただし、この -naturality は Enriched evaluation functor - PS Enriched end functor - PS により定義されるものとする。 証…

(と呼ぶくらいしか思いつかない) 補題: Close(curry) isomorphisms 命題 Evaluation -functor の族: は 2-functor: を create する。 証明 Yoneda bijection により となるが、 についての -naturality つまり 2-naturality は preserve される*1ので、あと…

Enriched evaluation functor -functor category: について、-functor: を次のように定義できる: これは Enriched natural-lookingness - PS の命題(bifunctor版) により確かに -functorial。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

Symmetric closed monoidal category において･･･ Enriched end 1-functor Ending -wedge の族: が存在するならば、1-functor を次のように定義できる: 系 *1 命題 -functor: について、ending -wedge の族: が存在するならば -natural-looking in なる -inf…

Enriched functor category symmetric closed monoidal category: -category: において、ending -wedge の族: *1 が存在するとき、-category of -functors: を次のように定義できる: 次の命題により、これは確かに -category となる。 命題 上記の end bijec…

以下、 symmetric closed monoidal category: -functor: において･･･ Enriched wedge -extranatural な を -wedge to と呼ぶことにする。 1-category of enriched wedges -wedge to を 0-cell とする 1-category: を定義できる。 Wedge-set functor Hom func…

Symmetric closed monoidal category において･･･ 命題.1 -functor: -morphism の族: について、Yoneda bijection: は についての -(extra)natural-lookingness を preserve する。 命題.2 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS で特に のとき 参考文献 B…

記法 以下、 (closed symmetric) monoidal category: -category: self-enriching において･･･ "Extra"composition により Vertical composition により -natural-lookingness は compose 可能であるが、-extranatural-lookingness も compose(的なもの)によ…

(という概念が必要かもしれない) 動機 Naturality は functorがないと定義されないが、functoriality とは直交した概念である(と思う)。 Composition compatibility Enriched functoriality とは composition compatibility identity(unit) compatibility の…

Symmetric closed monoidal category において･･･ Enriched representation -functor: について、-natural isomorphism: なる を representation of という。*1 Unit Representation は Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS により (unit of the represe…

系 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の特に のとき Enriched Yoneda embedding (weak form) 上記の系で特に を identity -functor とすると となる。 Enriched Yoneda principle (weak form) 上記の対応は preserves iso: 証明 の -functoriality お…

1-category of enriched functors monoidal category: -category: について、-natural transformation を 1-cell とする 1-category は であった。 記法 命題 symmetric closed monoidal category: -category: -functor: -object: について しかも について …

(と呼んでいい気がする) Self-enriching Closed symmetric monoidal category: について、Self-enriched category - PS の命題.1により となるのであったが、特にこの currying を self-enriching と勝手に呼ぶことにする。 Functoriality of self-enriching…

以下、symmetric monoidal category において･･･ Enriched functor の分解 Enriched bifunctoriality - PS の n-ary 版(特に 3-ary のとき)は以下のようになるのであった: これにより -functor をその partial application たちに分解できる: 並べ方も symme…

Enriched extranaturality symmetric monoidal category: -functor: および -morphism の族: について、-extranaturality とは を満たすこと。 の場合も同様(図を反転する)。 Enriched (co)wedge 上記のような をそれぞれ -wedge、-cowedge と言う(言えると…

(と呼べるかな)(Tensor の略だと思うが名称不明･･･) Ten Symmetric closed monoidal category において、-functor: を次のように定義できる: 命題.1 命題.2 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

命題 Symmetric monoidal category において、-functor の族: が および を満たすならば を満たすただ一つの -bifunctor: になる。 系 -functor が を満たすならば 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory Bifunctor lemma - PS

(あるいは hom enriched functor かも) Enriched difunctor なる形の -bifunctor のこと(を個人的に)。 Enriched hom difunctor closed symmetric monoidal category: -category: について、hom -difunctor: *1 を次のように定義できる: Underlying 1-difunc…