命題: Right adjoints preserve limits : limiting cone : limiting cone 証明 Limits in string diagrams - PS の記法を使って Yoneda は要らなかった。 参考文献 圏と関手入門.pdf category theory - Right adjoints preserve limits - Mathematics Stack …

Conjugates Adjunction: について、以下のいずれかを満たす natural transformation のペア: を conjugate という: これらは (co)unit を内側や外側からつけると確かに同値。*1 Hom-set adjunctions in string diagrams - PS の対応により Hom-setでも表せる…

Counit-unit adjunctions Hom-set adjunctions To counit-unit adjunctions とすると Counit と unit を使うと string diagram として自然な形に出来る、という感じ。 参考文献 Adjoint functors - Wikipedia, the free encyclopedia 圏と関手入門.pdf

@deprecated 代わりに RAPL in string diagrams - PS を参照。 記法.1 の limiting cone を それへの mediator を と書いてしまうことにする。 記法.2 命題 Right Adjoints Preserve Limits: adjunction について ならば 証明.1 よって Universality - PS よ…

Weighted limits in self-enriched categories Weighted limit による enriched Yoneda lemma - PS の命題より となるのであった。 HPL (という略語は見たことがない) enriched Hom functors Preserve weighted Limits: (Enriched hom functors preserve wei…

記法 Under category (Coslice category) *1 Error monad Functor: と forgetful functor: について *2 となるが、この adjunction の associated monad が error monad。 Error monad transformer Adjunction からの monad transformer - PS から functor: …

戦略 任意の monad: について Universal associated adjunctions - PS より少なくとも二通りの -associated adjunction: が作れたので Adjunction からの monad transformer - PS より functor: を作ることが出来る。 問題点 上記の functor の domain が に…

命題 bifunctor: homset-adjunction の族: について は natural なる bifunctor: がただ一つ存在する。 証明 Conjugate - PS の命題と Bifunctor lemma - PS による。 参考文献 Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

Adjunction from to Adjunction: を便宜上 adjunction from to と呼ぶことにする: Conjugate Homset-adjunction from to : について を commute にする natural transformation のペア: を conjugate という。 命題 Adjunction from to : および natural tra…

Lifted adjuncts Adjunction: について、Adjunction lifting - PS により natural bijection: が存在するのであった。 命題 上記の adjunction について が comonad: になっているならば は monad になる。 Dual が monad ならば は comonad。 参考文献 Mona…

Adjunctionからのmonad - PS を一般化する。 Adjunction-associated monoidal functor (と呼んでいいと思う) Adjunction: について は monoidal functor: になる。 Monad sandwich Monoid lifting により functor: を作ることが出来る。 State monad transfo…

Association between monads and adjunctions monad: adjunction: について を満たすとき、互いに associated というのであった。 Identity monad identity functor: identity natural transformation: は monad になる。 Trivial adjunction さらに とする…

いわゆるgetter/setterの圏論による表現。 Associated (co)monad with an adjunction Adjunctionからのmonad - PSより、adjunction: について はmonadに、 はcomonadになる。 EM category for a (co)monad Eilenberg-Moore adjunction - PSより、monad: につ…

(･･･なんて略語はたぶんない) 命題 Right Adjoints Preserve Right Kan extensions: adjunction: functor: functor: right Kan extension along : について、 も、right Kan extension along 。 証明 Adjunction lifting - PS(のpostcomposition版)により で…

Representable functor なるfunctor: のこと。 Copower Power - PSのdual: のこと。 Copowers in sets 特に、 のとき 命題.1 Functor: について、 証明 命題.2 Representable functor: について、functor: が定義できるならば、 証明 参考文献 Representable…

(･･･とでも呼ぶことにする) Posetal powerset 任意の集合 について、objectを の部分集合、morphismを とするposetal category*1: を定義できる。 以下、任意の関数: について･･･ Direct(existential) image Inverse image Dual(universal) image とすると、…

(･･･という用語は無いかもしれない) 任意のmonad: について･･･ Associated adjunction を満たすadjunction: を、associated adjunction with というのであった。 Category of associated adjunctions 上記をobjectとするcategory: をAdjunction category - P…

任意のmonad: について･･･ Kleisli adjunction Kleisli category について、 と書くことにすると、functor: と、 を定義できて、 をunit、 をcounitとするassociated adjunction with : を作ることが出来る。 参考文献 Abstract and Concrete Categories: Th…

Monad algebra Monad: について、 monad algebra of とは、 (associative law) (unit law) を満たす代数的構造: のこと。 Eilenberg-Moore category 上記をobjectとするEilenberg-Moore category: を - と同様にして定義できる。 Associated adjunction with…

Adjunction morphism Unit-adjunction: について、 を満たすfunctorのペア: をadjunction morphismという。*1 命題 要件1と2が成立するとき、 のcounitをそれぞれ natural bijectionを とすると、 要件3 Adjunction category Small category上のadjunctionと…

命題 Counit-unit-adjunction: について 証明 Category of... 上記の composition により、left adjoint functor を morphism とする category を作ることができるが、category of adjunctions とは言えない。 参考文献 Abstract and Concrete Categories: T…

Associated monad with an adjunction Adjunction : left adjoint right adjoint counit unit について、 とすると、 endofunctor unit multiplication *1 はmonadになる。 State monads from currying 特に、 のとき、adjunction: から上記の方法で作ったmo…

Universal morphismが族になるとadjunctionになる。 命題 Functor: について、-terminal morphismの族: が存在すれば、 となるようなfunctor: を一意に作ることができる: このとき、 は、adjunction: のcounitになる。 逆に、counit-adjunctionは、もちろんt…

Adjunction: の同値な定義がいろいろある。 Hom-set adjunction 以下から成る代数的構造: functor (left adjoint) functor (right adjoint) natural isomorphism 命題 はnatural と は共にnatural Counit-unit adjunction 以下から成る代数的構造: functor (…