定義
Product category Product category - PS より、product category: とは ･･･のような category であった。 Bifunctor Domain が product category の functor: のこと。*1 記法 Bifunctoriality Bifunctor の functoriality は 中置記法では 参考文献 Handbo…
Opposite morphism in in *1 命題 is not a covariant functor. Opposite functor Functor: について、opposite functor: を定義できる。これにより はfunctorial。 Opposite natural transformation Natural transformation: について、opposite natural tr…
いわゆるgetter/setterの圏論による表現。 Associated (co)monad with an adjunction Adjunctionからのmonad - PSより、adjunction: について はmonadに、 はcomonadになる。 EM category for a (co)monad Eilenberg-Moore adjunction - PSより、monad: につ…
Functorが絡んだときのparametricityの求め方。 以下、 において･･･ Image Relation Graph Relation lifting Endofunctor: に対応する、relation間のmapping*1を と定義する。 命題 特に、関数: に対応するrelation: について、 証明 *2 参考文献 Theorems f…
Algebraically compact category 任意のendofunctorのinitial algebraとterminal coalgebraが存在し、互いにinverseとなるcategoryのこと。 等がそうらしい。 命題 endofunctor: initial algebra: terminal coalgebra: algebra: coalgebra: について なる -m…
いわゆるif文の圏論的表現。 Distributive category has finite products: has finite coproducts: なるcategory のこと。 以下、distributive category について･･･ Predicate Guard If expression 参考文献 thesis.pdf
記法 Category of applicative functors - PS Traversable functor その1 functor: natural transformation: *1 のペアで (unitality) (linearity) を満たすもの。 Traversable functor その2 functor: natural transformation: *2 のペアで (identity) (com…
Applicative morphism 二つのapplicative functor: の間のmorphismを を満たすnatural transformation: とする。 Monoidal morphism Applicative functorはmonoidal endofunctorで表現できたので、同様に 二つのmonoidal endofunctor on monoidal or : の間…
Representable functor なるfunctor: のこと。 Copower Power - PSのdual: のこと。 Copowers in sets 特に、 のとき 命題.1 Functor: について、 証明 命題.2 Representable functor: について、functor: が定義できるならば、 証明 参考文献 Representable…
(･･･という単語の定義を試みる) Universe 集合族 集合族: とは、関数: のこと、と同時に関数適用を と書くことの表明。 以下、集合族 について･･･ Union Product Mapping なる を mapping such that associates to each a という(と思う)。このことを と書い…
Strong monad Monoidal category: について、もろもろのcoherence conditionを満たす monad: natural transformation: (strength) のペアのこと。 命題 monoidal category: monad: について、 とすれば、 はstrength。 証明 に注意する。 系 同様にして、Has…
任意のmonad: について･･･ Kleisli adjunction Kleisli category について、 と書くことにすると、functor: と、 を定義できて、 をunit、 をcounitとするassociated adjunction with : を作ることが出来る。 参考文献 Abstract and Concrete Categories: Th…
Monad algebra Monad: について、 monad algebra of とは、 (associative law) (unit law) を満たす代数的構造: のこと。 Eilenberg-Moore category 上記をobjectとするEilenberg-Moore category: を - と同様にして定義できる。 Associated adjunction with…
Adjunction morphism Unit-adjunction: について、 を満たすfunctorのペア: をadjunction morphismという。*1 命題 要件1と2が成立するとき、 のcounitをそれぞれ natural bijectionを とすると、 要件3 Adjunction category Small category上のadjunctionと…
Fork 圏論でよく見かける を満たすdiagram: のことをforkという。*1 Equalizer diagramはforkの一種。 参考文献 fork in nLab *1:フォークの形をしているから？
Inhabited set 空でない集合のこと。 Pointed set 集合とその要素のペア: からなる代数的構造。このとき、 はinhabited。 Pointed object category: terminal -object: について、 -object: -morphism: のペア(からなる代数的構造) をpointed objectという。…
Monoidal category Monoidal category: とは、 category: bifunctor: (monoidal product) -object: (unit object) natural isomorphism: (associator) natural isomorphism: (left unitor) natural isomorphism: (right unitor) で、pentagon equalityとtria…
記法 Regular (epi)monomorphism 何かの(co)equalizerになっているmorphismのこと。*1 Extremal (epi)monomorphism を満たす(epi)monomorphism のこと。 命題 参考文献 Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats (Dover Books on Mathematics) *1:…
記法 任意のuniversal morphism: について、 とのmediator を、 のような感じで、 と書くことにする。 Power functor その1 Power projectionの族: が存在するならば、これをnaturalにするただ一つのcontravariant functor: を作ることが出来る。 Power func…
Codensity monad Functor: について、right Kan extension of along : が存在するならば、 *1 は、monadを成す。このmonadをcodensity monad of という。 Adjunctionからのcodensity monad 特に、 がleft adjoint: を持つとき、Adjunction lifting - PSによ…
Canonical natural transformation of comma categories Comma category: について、その定義により、-objectを添字とするmorphism族: は、natural。 詳しくは、自明に定まるfunctor: を使うと、 は、canonical natural transformation: になる。 Dense func…
Preservation of right Kan extensions Functor: と、right Kan extension of along : について、 とのwhikering: が、right Kan extension of along になるとき、 preserves a right Kan extension という。 Preservation of left Kan extensions 同様にし…
Precomposition functor Category と functor について、whiskering functor precomposition functor: *1 を定義できる。 Right Kan extension Functor: について、-terminal morphism*2: を、right Kan extesion of along (-ran) といい、 を、 で表す: Hom…
Arrow category Arrow category とは、comma category: のことであった。 Twisted arrow category 任意のcategory について、morphismの向きを逆にするfunctor: を使ったcomma category: のことを、twisted arrow categoryと呼び、 と書くことにする。 さら…
End functor Ending wedgeの族: が存在するとき、end functor*1: *2 を定義できる: 記法 参考文献 Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics) Limit functor - PS *1:endofunctorと紛らわしいかもしれない *2:mediatorの取…
Wedge category Difunctor: へのwedgeをobjectとするcategory: をcone categoryと同様にして作ることが出来る。 Ending wedge のterminal object: をending wedgeという。 End Ending wedgeのvertex をendといい あるいは、 で表す: 一意性 Limiting coneと…
Difunctor なるbifunctorのこと。二つの引数のvarianceが正反対になっているbifunctor。*1 Dinatural transformation 二つのdifunctor: について、-morphismの族: がdiagonal naturality(dinaturality): を満たすとき、dinatural transformationという。 Din…
@deprecated Infracone と呼んだ方がいいと思う。 Source Functor: について、 -morphismの族: を source from という。 Coneからnaturality要件を除いたもの。 特に、 coneはsource。 がdiscreteのとき、sourceはcone。 のとき、objectと本質的に等しい。 …
Domain restriction subcategory functor について、functor: を定義できる。 Full subcategory Full inclusion functorのdomainのこと。 命題 subcategory について、 Codomain restriction full subcategory functor について、 を満たすとき、functor: を…
前提 setはclass classの要素はset よってsetの要素もset Small class Setのこと。Small setともいう。 Large class Setではないclassのこと。Proper classともいう。 Axiom of replacement small class class function について はsmall class 命題 特に、 …
