Enriched natural transformation monoidal category: -functor: について -natural transformation: とは、-morphism の族: で -naturality: を満たすもの。 Identity enriched natural transformation -functor について identity -natural transformation…

Symmetry Monoidal category において symmetry とは natural isomorphism: で、もろもろの coherence axiom を満たすもの。 Symmetric monoidal category Symmetry を持つ monoidal category のこと。 Permutative category Symmetry を持つ strict monoida…

Enriched functor -category について、-functor: とは、-morphism の族: で、-functoriality: を満たすもの(添字略)。 Identity enriched functor -category について identity -functor: を次のように定義できる: Composite enriched functor -functor: に…

(と呼んでいいのかな) Closed monoidal category - PS の続き･･･ Self-enriched category Closed monoidal category*1: について -enriched category: *2 を次のようにして定義できる。 次の functoriality により、これは確かに -category になる。 Functor…

Closed monoidal category Monoidal category が を満たすとき、closed monoidal category という。 任意の について natural bijection (curry bijection): が存在するような monoidal category のこと。 Internal hom bifunctor Adjunctions with paramete…

Enriched category Monoidal category について -category とは 集合: -object の族: -morphism の族: -morphism の族: から成る代数的構造で、もろもろの coherence axiom を満たすもの。 String diagram にて ひもの左右にタグが付いている 二本のひもが束…

@deprecated 代わりに Fully-faithful functors in string diagrams - PS を参照。 Conservative functor Reflects iso な functor つまり を満たす functor のこと。 Fully faithful functor なる functor のこと。 命題 fully faithful functor -isomorphi…

Uniqueness quantification についての怪しい考察･･･ 動機 を満たす がただ一つ存在し、しかも を満たす という命題が という一まとめの記号では表せない。 Uniqueness quantification? 結果 参考文献 Uniqueness quantification - Wikipedia, the free ency…

TikZ TikZ とは path (なるもの)を構築する tex のライブラリ。 Path Path とは、path operation が何個か連なったものであり、\pathcommand により構築する。 \fooは\path[foo]または\path fooの短縮形である。 Path operation Path operation は path を構…

Tree rotation Tree rotation - Wikipedia, the free encyclopedia を参照。 General associativity theorem General Associativity Theorem/Formulation 3 - ProofWiki を参照。 これにより、binary tree は tree rotation の繰り返しでどんな形にも変形で…

(と一般に呼ぶのかは分からない) Monoidal category について という要件は不要という命題。 補題 証明 Proving lemmas on monoidal categories in Todd Trimble を参照。 命題 証明 の naturality より は iso ゆえ triangle equality とより 補題とより は…

圏論に必須かもしれない string diagram についての補足メモ String diagram Natural transformation(より一般には 2-category - PS の 2-cell) を平面上の線上の点で表す。Naturality 関連の等式が自明になる。 図の上下も左右も向きも文献によりまちまち･･…

俺様 scaladoc.vim を作成中に出くわした Scaladoc の syntax の(知らなくてよさそうな)仕様について･･･ Left mergin Left mergin とは *のあとに空白があったら、その次の文字 *のあとが空白でなければ、その空白でない文字 それ以外は、行頭の文字 /** * M…

俺様 scala.vim を作成中に出くわした Scala の syntax の(知らなくてよさそうな)仕様について･･･ Unicode escape \u1234のような形は tokenize に先立ち unicode文字にエスケープされる: val \u0061b = 3 // val ab = 3 uは何個ついてもok: val \uuuuuu0061…

型推論クイズ - PS とはかけ離れたかもしれない怪しいレポート。 準備 以下の記事は、Scala 2.11.4 および Scala言語仕様 (pdf) (以下、SLS) の June 11, 2014 版を使用しています。また、scala.Singleton - PS に誤りがあり訂正しているので合わせてご覧く…

この投稿は Scala Advent Calendar 2014 - Qiita の24日目の記事です。 前の日の記事: Scala - spray-routingにPlay2ライクなコントローラを導入する - Qiita 次の日の記事: L'Architecture systèmatique [JP]: Patterns on Scala この記事についてのレポー…

記法 2-category: について と書くことにする。 2-category laws n-Category - PS の定義により (associativity) (left unitality) (right unitality) さらに、 の Bifunctoriality - PS より (interchange) (sliding) が成立する。 2-category of small cat…

記法 Under category (Coslice category) *1 Error monad Functor: と forgetful functor: について *2 となるが、この adjunction の associated monad が error monad。 Error monad transformer Adjunction からの monad transformer - PS から functor: …

戦略 任意の monad: について Universal associated adjunctions - PS より少なくとも二通りの -associated adjunction: が作れたので Adjunction からの monad transformer - PS より functor: を作ることが出来る。 問題点 上記の functor の domain が に…

(と呼ぶかは分からない) Kan extension の族から ある functor: について、right kan extension along の族: つまり -terminal morphism の族が存在すれば、Pointwise construction of adjoints - PS より となるような functor: を作れる。 Kan extension …

命題 bifunctor: homset-adjunction の族: について は natural なる bifunctor: がただ一つ存在する。 証明 Conjugate - PS の命題と Bifunctor lemma - PS による。 参考文献 Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics)

Adjunction from to Adjunction: を便宜上 adjunction from to と呼ぶことにする: Conjugate Homset-adjunction from to : について を commute にする natural transformation のペア: を conjugate という。 命題 Adjunction from to : および natural tra…

Lifted adjuncts Adjunction: について、Adjunction lifting - PS により natural bijection: が存在するのであった。 命題 上記の adjunction について が comonad: になっているならば は monad になる。 Dual が monad ならば は comonad。 参考文献 Mona…

Adjunctionからのmonad - PS を一般化する。 Adjunction-associated monoidal functor (と呼んでいいと思う) Adjunction: について は monoidal functor: になる。 Monad sandwich Monoid lifting により functor: を作ることが出来る。 State monad transfo…

0-category 集合のこと。その要素を object と言うことにする。 0-funtor 関数のこと。 n-category 再帰的に定義する。-category とは class: (objects) -category の族: -functor の族: (composition) -functor の族: (units) からなる代数的構造で (associ…

はてなブログのMarkdownモードで数式[tex: ]を書くときのバッドノウハウ 問題点 Markdownがパースしたあと、texがパースされているようなので、例えば [tex: a*b*c] が、Markdownのemphasisと解釈されて [tex: abc] となってしまう。 回避策 <div></div>で[tex: ]を囲む…

Product category Product category - PS より、product category: とは ･･･のような category であった。 Bifunctor Domain が product category の functor: のこと。*1 記法 Bifunctoriality Bifunctor の functoriality は 中置記法では 参考文献 Handbo…

Association between monads and adjunctions monad: adjunction: について を満たすとき、互いに associated というのであった。 Identity monad identity functor: identity natural transformation: は monad になる。 Trivial adjunction さらに とする…

Opposite monoidal category Monoidal category: について *1 は、monoidal categoryになる(と思う)ので と書くことにする。 *2 Comonoid object そのopposite monoidal categoryにおけるmonoid objectのこと。 Trivial comonoid object Monoidal category w…

Opposite morphism in in *1 命題 is not a covariant functor. Opposite functor Functor: について、opposite functor: を定義できる。これにより はfunctorial。 Opposite natural transformation Natural transformation: について、opposite natural tr…