PS

Functor

Representations in string diagrams

(きれいだけどたぶん使わない) Representations Bijectivity Uniqueness Yoneda embedding in string diagrams - PS Fully-faithful functors in string diagrams - PS のそれぞれの命題より 参考文献 Representable functor - Wikipedia, the free encyclop…

Fully-faithful functors in string diagrams

Function box も open にすればよかった。 Faithful functors Fully-faithful functors Faithful 性よりたしかに natural (点線はいらない)。 Laws Functoriality (と言ってしまおう) 命題 Functoriality preserves iso ゆえ 参考文献 The Joy of Cats in nL…

String diagram での monoidal functor

@deprecated 代わりに Monoidal natural transformations in string diagrams - PS を参照。 Monoidal functor Monoidal category: について、monoidal functor: とは 1-functor: 1-natural transformation: -morphism: からなる代数的構造で、もろもろの co…

Infrastructure

Infranatural transformation という便利そうな用語を発見したので・・・ Infranatural transformation Natural transformation から naturality 要件を除いたもの。要はただの族。 これを transformation と呼ぶ場合もある*1一方、natural transformation(的な…

Kan functor

(と呼ぶかは分からない) Kan extension の族から ある functor: について、right kan extension along の族: つまり -terminal morphism の族が存在すれば、Pointwise construction of adjoints - PS より となるような functor: を作れる。 Kan extension …

Opposite natural transformation

Opposite morphism in in *1 命題 is not a covariant functor. Opposite functor Functor: について、opposite functor: を定義できる。これにより はfunctorial。 Opposite natural transformation Natural transformation: について、opposite natural tr…

Representable functor

Representable functor なるfunctor: のこと。 Copower Power - PSのdual: のこと。 Copowers in sets 特に、 のとき 命題.1 Functor: について、 証明 命題.2 Representable functor: について、functor: が定義できるならば、 証明 参考文献 Representable…

Strong endofunctor

Strength monoidal category: endofunctor: について、strength for とは、natural transformation: で *1 を満たすもの。 Strong endofunctor 上記のようにstrengthを持つendofunctorのこと。 用語がlax(普通のmonoidal functor)に対するstrongと被っている…

fmapの一意性

命題 Functor: について、 を満たす関数族: が存在するならば、 証明 Free theoremにより、 は、 についてfreely naturalなので vs. Applicative \f -> \x -> pure f <*> x は、functorialなので、上記の命題より fmap f x = pure f <*> x 参考文献 haskell …

Free functor object

Free functor object category: forgetful functor: について、ある -initial morphism: のこと(特に代表してのこと)を、free functor object over ということにする。 Discrete diagramから作った一番シンプルなfunctor、ということ。 Coends in sets Difun…

Dense functor

Canonical natural transformation of comma categories Comma category: について、その定義により、-objectを添字とするmorphism族: は、natural。 詳しくは、自明に定まるfunctor: を使うと、 は、canonical natural transformation: になる。 Dense func…

Restriction of functors

Domain restriction subcategory functor について、functor: を定義できる。 Full subcategory Full inclusion functorのdomainのこと。 命題 subcategory について、 Codomain restriction full subcategory functor について、 を満たすとき、functor: を…

Exponentiation of functions

Has exponentialsなcategory と -object について・・・ Exponentiation functor Covariant hom functor を定義できる。 命題 特に のとき、 つまり、関数のexponentiationは、compositionする高階関数。 参考文献 Category Theory (Oxford Logic Guides)

Exponentiation of functors

Whiskering functor (と呼んでいいと思う) postcomposition functorというのが正解らしい。 category functor について、whiskering functor : を定義できる。Functorとnatural transformationのcomposition。 Transposed functor Bifunctor: について、tran…

Reflector

Reflection Inclusion functor: について、initial morphism: を -reflection という。 Reflector -reflectionの族: が存在すれば、これをunitとするadjunction: を作ることができる。このfunctor を -reflector という。 Reflective subcategory Reflector…

Godement product

Evaluation functor Naturality square の対角線を返すもの。 Godement product Functor: と、natural transformation: について、Godement product(horizontal composition) を evaluation functor を使って次のように定義する: は、しばしば省略される。 …

Yoneda functor

Haskell(kan-extensions)のYoneda functor: newtype Yoneda f a = Yoneda { runYoneda :: forall b. (a -> b) -> f b } を攻略する試み。 Yoneda lemmaのdual版 Category Theory (Oxford Logic Guides) のyoneda lemmaから を使えば、dual版を作ることができ…

Theorems for free

CoYoneda data CoYoneda f a = forall b. CoYoneda (b -> a) (f b) は、圏論っぽくかくと、morphism族: のこと Parametricity theorem Parametricity theoremにより、なんやかんやで はnaturalになる(らしい)。 特に、 についてのnaturalityにより

Comma functor

Comma category 二つのfunctor: について、comma category: のmorphismはこんな感じであった: Comma functor (と呼んでいいと思う) つまり、naturality squareを上下にくっつけるfunctorを返す。 Morphismの実装部(青色)は変化していない。 Hom functor 特に…

Pullback functor

Pullback functor Category -morphsim について、pullback functor: を定義できる。 これは、limit functorの一種。 参考文献 Definition:Pullback Functor - ProofWiki Category Theory (Oxford Logic Guides)

Functor まとめ

Identity functor Composite functor について Diagonal functor *1 Product of functors について *2 Exponential functor -object について Swap functor (と呼んでいいと思う) Partial application について Evaluation functor Natural transformationの…

Naturality for bifunctors

Bifunctor Domainがproduct categoryになっているfunctorのこと。 Partial application bifunctor -object について、functor: を定義できる。同様にして、functor: を定義できる。 命題 Natural in both X and Y Morphism族 がnaturalということ。 命題 bif…

Limit functor

@deprecated 替わりにPointwise construction of adjoints - PSを参照。 Limit functor Functor のlimiting coneを、diagonal functor を使って と書くとすると、limit functor: *1 を定義できる: この定義のもと、 はnaturalであるので、これをcounitとすれ…

Yoneda lemma

Evaluation functor Category について、evaluation functor: を定義できる。*1 と書くことにすると Swap functor Category について なるfunctorをswap functorと呼ぶことにする*2。これは明らかにisomorphism。 Yoneda embedding Locally small category …

Whiskering

Functorとnatural transformationのhorizontal composition。 @deprecated 替わりに Godement product - PS を参照。 Whiskering (と言うらしい)*1 natural transformation in functor について、natural transformation: を定義できる。同様に、 functor に…

Sectionとretraction

動機 Isomorphismの要件を分割する。 ( は成立しない) Section Left-inverseを持つmorphismのこと。 Retraction Right-inverseを持つmorphismのこと。Split epimorphismともいう。 命題 命題 参考文献 Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats (D…

Reflection

Functor と命題の族 について Preserves のとき、 preserves という。 Reflects のとき、 reflects という。 Respects ついでに、関数 と equivalence relation について、 とき、 respects という。 参考文献 isbn:0486469344

Category equivalence

Category isomorphism (的なcategory)のisomorphismのこと。つまり、 and なるfunctor のこと。 このような は存在すればuniqueである。 命題 この要件が厳しすぎるのでゆるくするということ(らしい)。 Category equivalence and *1 なるfunctor のこと。 こ…

Free object

Forgetful functor 等は習ったが、 一般の場合の定義は難しいらしい。 Free object forgetful functor: -object: について、free object on とは、 comma category のinitial objectのこと。つまり、initial morphism: のこと。 -object から一番シンプルに…

Full and faithful functor

Faithful functor Functor について、function が、 を満たすとき、functor をfaithful functorという。 Full functor なるfunctor のこと。 Fully faithful functor Fullかつfaithfulなfunctorのこと。 命題 参考文献 isbn:0199237182 Concrete category - …

Catamorphism

Endofunctor Domainとcodomainが同じfunctorのこと。 F-algebra 任意のendofunctor について、 -algebraとは、以下から成る代数的構造 である。 -object: (carrier) -morphism: F-algebra category 任意のendofunctor について、 -algebra category: を次の…

Diagonal functor

The 1 Category を次のように定義できる: 命題 Constant functor Category と -object について、constant functor を次のように定義できる: Constant natural transformation 任意のcategory と -morphism について、constant natural transformation: を定…

Product functor

Cartesian category @deprecated Category について、以下を満たすとき、cartesian category*1という。 任意のdiscrete diagram in : について、product: が存在する。 Product morphism 二つのproduct: 二つのmorphism: について、 はconeであるから、produ…

Product

Discrete category Category について、以下の二つの要件を満たすものをdiscreate categoryという。 任意の について つまり、morphismが しかないcategory。Discrete categoryはpreorderである。 Discrete diagram Domainがdiscreteなdiagramのこと。このよ…

Limit

@deprecated Constant functor Category と について、constant functorを次のように定義できる: Cone Cone: とは、以下から成る代数的構造 である: functor: (base) -object: (vertex) natural transformation: (components) つまりconeとは、domainがconst…

Commutative diagram

Preorder category Category について、 *1 が成立するとき、preorder categoryという。 つまり、domainとcodomainが等しいmorphism同士は等しい、というcategory。 Diagram Category について、functor: を、diagram in of shape という。 関数の略記法が「…

Hom functor

Locally small category Category について が成立するとき、locally small category*1という。 が集合であることは要求されない。集合は類なので、類 の部分類になりうる(ということか)。 以下、 はlocally smallであるとすると、次のようなfunctorが定義で…

Subcategory

Subcategory @error Category と について、以下を満たすとき、 を のsubcategoryといい、(思い切って) と書くことにする。 *1 このようなfunctor が存在するならば、明らかにただ一つ定まる。 (この定義が一番シンプルだと思うが・・・) Inclusion functor @er…

Product category

Product category 任意の category と について、product category: を次のように定義できる: *1 Projection functor 任意の product category について、projection functor: を定義できる。 Bifunctor Domain が product category になっている functor の…

Opposite category

Opposite category 任意のcategory について、opposite category: を次のように定義できる: 他は全て のものと同じ Contravariant functor Contravariant functor とは、functor のことである。 対して普通のfunctorをcovariant functorという。 Opposite fu…

Composite functor

Composite functor 任意の二つのfunctor: について、composite functor: を次のように定義できる: (この はobjectまたはmorphismで、まとめて定義した。) 参考文献 isbn:0521283043

Identity functor

Identity functor 任意のcategory について functor を以下のように定義する: (この はobjectまたはmorphismで、まとめて定義した。) これより簡単なfunctorは無さそうだ。添字の はしばしば省略される。 参考文献 isbn:0521283043

Sets

Category of sets Category を次のようにして定義できる: (これで良さそうだが厳密な定義を発見できず・・・) Structured set Structured setとは、以下から成る代数的構造 である(と思う)。 一つの集合: (underlying set) A上の演算子の族 (structure) つまり…

Functor

Functor, 関手 Functor とは、 以下から成る代数的構造 である: category: (domain) category: (codomain) 関数: 関数: これらは以下の三つの要件(functoriality)を満たさなくてはならない。 任意の について 上の演算子には上に点をつけておいた。 記法 参…